Корреляционно-регрессионный анализ. Коэффициент корреляции в Excel Коэффициент корреляции фехнера пример

Коэффициент Фехнера - это оценка степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от средних значений факторного и результативного признаков. Коэффициент Фехнера наряду с такими коэффициентами, как коэффициент Спирмэна и коэффициент Кэндэла, относится к коэффициентам корреляции знаков . Коэффициент корреляции знаков основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Вычисляется он следующим образом:

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K ф ">Рассчитать свое значение

Коэффициент Фехнера может принимать значения от –1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, Kф=-1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи.

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для расчета коэффициент Фехнера в онлайн режиме. Также определяется значимость данного коэффициента.

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон для проверки решения в Excel .

Расчет коэффициента Фехнера состоит из следующих этапов:

Определяют средние значения для каждого признака (X и Y).
Определяют знаки отклонения (-,+) от среднего значения каждого из признаков.
Если знаки совпадают, присваивают значение А, иначе В.
Считают количество А и В, вычисляя коэффициент Фехнера по формуле: K ф = (n a - n b)/(n a + n b) где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.

Коэффициент Фехнера изменяется в пределах [-1;+1] и применяется для оценки тесноты связи качественных признаков (непараметрические методы).

Графическое представление коэффициента Фехнера

Пример №1 . При разработке глинистого раствора с пониженной водоотдачей в высокотемпературных условиях проводили параллельное испытание двух рецептур, одна из которых содержала 2% КМЦ и 1% Na2CO3, а другая 2% КМЦ, 1% Na2CO3 и 0,1% бихромата калия. В результате получена следующие значения Х (водоотдача через 30 с).

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Проверит, различимы ли рассматриваемые растворы по значению водоотдачи.

Пример №2 . Коэффициент корреляции знаков , или коэффициент Фехнера, основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Вычисляется он следующим образом:

где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.

Коэффициент Фехнера может принимать значения от -1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, Kф =-1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи.

Пример №2
Рассмотрим на примере расчет коэффициента Фехнера по данным, приведенным в таблице:
Средние значения:

Знаки отклонений от средней X	Знаки отклонений от средней Y	Совпадение (а) или несовпадение (b) знаков

Значение коэффициента свидетельствует о том, что можно предполагать наличие обратной связи.

Оценка Коэффициента корреляции знаков.

Для оценки коэффициента Фехнера достаточно оценить его значимость и найти доверительный интервал.
Значимость коэффициента Фехнера.

По таблице Стьюдента находим t табл:
t табл (n-m-1;a) = (6;0.05) = 1.943
Поскольку Tнабл > tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции знаков. Другими словами, коэффициент Фехнера статистически - значим.

Доверительный интервал для коэффициента Фехнера:
r(-1.0;-0.4495)

Пример №3 .
Рассмотрим на примере расчет коэффициента корреляции знаков по данным, приведенным в таблице.

При корреляционному связи вместе с исследуемым фактором или несколькими факторами при множественной корреляции на результативный признак оказывают влияние и другие факторы, которые не учитываются или не могут быть точно учтены. При этом действие их может быть направлена как в сторону повышения результативного признака, так и в сторону ее снижения. Итак, исследование связи происходит в условиях, когда эта связь в большей или меньшей степени затушевывается противоречивой действием других причин. Поэтому одна из задач корреляционного анализа состоит в определении тесноты связи между признаками, в определении силы воздействия исследуемого фактора (факторов) на результативный признак.

Теснота связи в корреляционному анализе характеризуется с помощью специального относительного показателя, который получил название коэффициента корреляции.

При парной линейной зависимости теснота связи определяется с помощью линейного коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции находится в пределах от 0 к ±1. в Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь отсутствует, а если единице, то связь функциональная. Знак при коэффициенте корреляции указывает на направление связи ("+" - прямой "-" - обратная). Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем связь между признаками теснее.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации (г2). Он показывает, какая доля общей вариации результативного признака определяется исследуемым фактором. Если коэффициент детерминации выраженный в процентах, то его следует читать так: вариация (колебания) зависимой переменной на столько-то процентов обусловлена вариацией фактора.

Между линейным коэффициентом корреляции (г) и коэффициентом полной регрессии (Ь) связь:

Следовательно, зная коэффициент корреляции (г) и значения средних квадратических отклонений по х и в можно определить коэффициент регрессии (Ь) и наоборот, зная коэффициент регрессии (Ь) и соответствующие средние квадратические отклонения можно вычислить коэффициент корреляции (г).

При парной линейной зависимости коэффициент корреляции и коэффициент полной регрессии имеют одинаковые знаки (плюс, минус).

Линейный коэффициент корреляции предназначен для оценки степени тесноты связи при линейной зависимости. Для случаев нелинейной связи между признаками используется другая формула коэффициента корреляции, которая следует из правила сложения дисперсий:

Из приведенного равенства видно, что чем больше влияние фактора на результативный признак, тем в большей степени ее значение дисперсии ("м.гр) приближается к значению общей дисперсии результативного признака.

Соответственно, чем больше "м.гР и меньше ае.гр тем связь между признаками будет теснее и наоборот. Следовательно, отношение межгрупповой (факторной) и общей дисперсий используется для оценки тесноты связи между признаками. Формула коэффициента корреляции имеет вид:

Учитывая, щосг2я = о-а-огля!>, формулу коэффициента корреляции можно представить как

Обе формулы коэффициента корреляции применяются для расчета тесноты связи при любой форме связи.

Из правила сложения дисперсий видно, что значение коэффициента корреляции находится в пределах от 0 до 1. Знак коэффициента корреляции с формулы не выводится. Если изучается связь между двумя признаками (парная простая корреляция), то направление связи (знак перед г) определяется непосредственно за знаком перед коэффициентом регрессии линейного уравнения.

При парной криволинейной зависимости, теснота связи при линейной зависимости, определяется с помощью специального показателя, аналогичного рассмотренному выше коэффициента корреляции г.

Этот показатель (чтобы подчеркнуть его принадлежность к криволинейного связи) обозначают символом иг и называют индексом корреляции:

Числовое значение индекса корреляции аналогичное коэффициенту корреляции: если иг = 1 - связь функциональная, если иг = 0 - связь отсутствует; чем иг ближе к единице, тем связь между признаками теснее.

Если известны коэффициенты регрессии уравнения связи, то индекс корреляции можно определить по другой, более простой формуле. Так, при параболической зависимости формула индекса корреляции может быть представлена как

Теснота связи при множественной корреляции определяется с помощью коэффициента множественной корреляции (ее) и коэффициента множественной детерминации (її2). По содержанию они аналогичны коэффициентам корреляции и детерминации при парном связи. их вычисления основывается на сравнении межгрупповой (факторной) и общей дисперсий:

Эта формула может быть применена для определения тесноты связи при любой форме связи.

Величина рч. изменяется от 0 до 1 и рассматривается как положительная, поскольку при множественных зависимостях связь результативного признака с одними факторами может быть положительным, а с другими - отрицательным.

Для случая зависимости результативного признака от двух факторов формула коэффициента множественной корреляции имеет вид

где Ги - парные линейные коэффициенты корреляции.

Приведенная формула применяется для определения тесноты связи при линейной зависимости.

Для определения тесноты связи между результативным признаком и каждым фактором при исключены влияния других факторов определяют частные коэффициенты корреляции, которые характеризуют "чистая" влияние фактора на результативный признак. Для их расчета используются парные коэффициенты корреляции.

В случае зависимости результативного признака от двух факторов (х1 и х2) можно рассчитать три коэффициента частичной корреляции:

1) между в и х1 при исключении влияния х2:

Коэффициенты корреляции при парных и множественных связей, а также индекс корреляции - это относительные величины, поэтому они могут быть использованы для сопоставления тесноты связи по нескольким явлениях, которые анализируются.

Следует иметь в виду, что показатели тесноты связи зависят от размаха варьирования изучаемых признаков. Чем больше вариация переменных, тем выше будет величина показателей тесноты связи.

Определим тесноту связи между исследуемыми признаками для нашего примера. Поскольку между продуктивностью коров и уровнем кормления имеет место линейная связь, тесноту связи определим с помощью линейного коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции показывает, что между продуктивностью коров и уровнем кормления имеет место тесная (сильная) связь.

Коэффициент детерминации г2 = 0,93442 = 0,8731 показывает, что 87,31% общего колебания продуктивности коров обусловлено различиями в уровне кормления, а остальные 12,69% (100 - 87,31) - другими факторами, которые в данном случае не было учтено.

Коэффициент корреляции можно найти и по другим формулам.

Коэффициент корреляции, предложенный во II–й половине XIX века Г. Т. Фехнером, является наиболее простой мерой связи между двумя переменными. Он основан на сопоставлении двух психологических признаков x i и y i , измеренных на одной и той же выборке, по сопоставлению знаков отклонений индивидуальных значений от среднего: и
. Вывод о корреляции между двумя переменными делается на основании подсчета числа совпадений и несовпадений этих знаков.

Пример

Пусть x i и y i – два признака, измеренные на одной и той же выборке испытуемых. Для вычисления коэффициента Фехнера необходимо вычислить средние значения для каждого признака, а также для каждого значения переменной – знак отклонения от среднего (табл. 8.1):

Таблица 8.1

x i	y i	Обозначение

В таблице: а – совпадения знаков, b – несовпадения знаков; n a – число совпадений, n b – число несовпадений (в данном случае n a = 4, n b = 6).

Коэффициент корреляции Фехнера вычисляется по формуле:

(8.1)

В рассматриваемом случае:

Вывод

Между исследуемыми переменными существует слабая отрицательная связь.

Необходимо отметить, что коэффициент корреляции Фехнера не является достаточно строгим критерием, поэтому его можно использовать лишь на начальном этапе обработки данных и для формулировки предварительных выводов.

8. 4. Коэффициент корреляции Пирсона

Исходный принцип коэффициента корреляции Пирсона – использование произведения моментов (отклонений значения переменной от среднего значения):

Если сумма произведений моментов велика и положительна, то х и у связаны прямой зависимостью; если сумма велика и отрицательна, то х и у сильно связаны обратной зависимостью; наконец, в случае отсутствия связи между x и у сумма произведений моментов близка к нулю.

Для того чтобы статистика не зависела от объема выборки, берется не сумма произведений моментов, а среднее значение. Однако деление производится не на объем выборки, а на число степеней свободы n - 1.

Величина
является мерой связи междух и у и называется ковариацией х и у .

Во многих задачах естественных и технических наук ковариация является вполне удовлетворительной мерой связи. Ее недостатком является то, что диапазон ее значений не фиксирован, т. е. она может варьировать в неопределенных пределах.

Для того чтобы стандартизировать меру связи, необходимо избавить ковариацию от влияния стандартных отклонений. Для этого надо разделить S xy на s x и s y:

(8.3)

где r xy - коэффициент корреляции, или произведение моментов Пирсона.

Общая формула для вычисления коэффициента корреляции выглядит следующим образом:

(некоторые преобразования)

(8.4)

Влияние преобразования данных на r xy:

1. Линейные преобразования x и y типа bx + a и dy + c не изменят величину корреляции между x и y .

2. Линейные преобразования x и y при b < 0, d > 0, а также при b > 0 и d < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Достоверность (или, иначе, статистическая значимость) коэффициента корреляции Пирсона может быть определена разными способами:

По таблицам критических значений коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена (см. Приложение, табл. XIII). Если полученное в расчетах значение r xy превышает критическое (табличное) значение для данной выборки, коэффициент Пирсона считается статистически значимым. Число степеней свободы в данном случае соответствует n – 2, где n – число пар сравниваемых значений (объем выборки).

По таблице XV Приложений, которая озаглавлена «Количество пар значений, необходимое для статистической значимости коэффициента корреляции». В данном случае необходимо ориентироваться на коэффициент корреляции, полученный в вычислениях. Он считается статистически значимым, если объем выборки равен или превышает табличное число пар значений для данного коэффициента.

По коэффициенту Стьюдента, который вычисляется как отношение коэффициента корреляции к его ошибке:

(8.5)

Ошибка коэффициента корреляции вычисляется по следующей формуле:

где m r - ошибка коэффициента корреляции, r - коэффициент корреляции; n - число сравниваемых пар.

Рассмотрим порядок вычислений и определение статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона на примере решения следующей задачи.

Условие задачи

22 старшеклассника были протестированы по двум тестам: УСК (уровень субъективного контроля) и МкУ (мотивация к успеху). Получены следующие результаты (табл. 8.2):

Таблица 8.2

	УСК (x i )	МкУ (y i )		УСК (x i )	МкУ (y i )

Задание

Проверить гипотезу о том, что для людей с высоким уровнем интернальности (балл УСК) характерен высокий уровень мотивации к успеху.

Решение

1. Используем коэффициент корреляции Пирсона в следующей модификации (см. формулу 8.4):

Для удобства обработки данных на микрокалькуляторе (в случае отсутствия необходимой компьютерной программы) рекомендуется оформление промежуточной рабочей таблицы следующего вида (табл. 8.3):

Таблица 8.3

x i y i

x 1 y 1

x 2 y 2

x 3 y 3

x n y n

Σx i y i

2. Проводим вычисления и подставляем значения в формулу:

3. Определяем статистическую значимость коэффициента корреляции Пирсона тремя способами:

1-й способ:

В табл. XIII Приложений находим критические значения коэффициента для 1-го и 2-го уровней значимости: r кр. = 0,42; 0,54 (ν = n – 2 = 20).

Делаем вывод о том, r xy > r кр . , т. е. корреляция является статистически значимой для обоих уровней.

2-й способ:

Воспользуемся табл. XV, в которой определяем число пар значений (число испытуемых), достаточное для статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона, равного 0,58: для 1-го, 2-го и 3-го уровней значимости оно составляет, соответственно, 12, 18 и 28.

Отсюда мы делаем вывод о том, что коэффициент корреляции является значимым для 1-го и 2-го уровня, но «не дотягивает» до 3-го уровня значимости.

3-й способ:

Вычисляем ошибку коэффициента корреляции и коэффициент Стьюдента как отношение коэффициента Пирсона к ошибке:

В табл. X находим стандартные значения коэффициента Стьюдента для 1-го, 2-го и 3-го уровней значимости при числе степеней свободы ν = n – 2 = 20: t кр. = 2,09; 2,85; 3,85.

Общий вывод

Корреляция между показателями тестов УСК и МкУ является статистически значимой для 1-го и 2-го уровней значимости.

Примечание:

При интерпретации коэффициента корреляции Пирсона необходимо учитывать следующие моменты:

Коэффициент Пирсона может использоваться для различных шкал (шкала отношений, интервальная или порядковая) за исключением дихотомической шкалы.

Корреляционная связь далеко не всегда означает связь причинно-следственную. Другими словами, если мы нашли, предположим, положительную корреляцию между ростом и весом у группы испытуемых, то это вовсе не означает, что рост зависит от веса или наоборот (оба этих признака зависят от третьей (внешней) переменной, каковая в данном случае связана с генетическими конституциональными особенностями человека).

r xu » 0 может наблюдаться не только при отсутствии связи между x и y , но и в случае сильной нелинейной связи (рис. 8.2 а). В данном случае отрицательная и положительная корреляции уравновешиваются и в результате создается иллюзия отсутствия связи.

r xy может быть достаточно мал, если сильная связь между х и у наблюдается в более узком диапазоне значений, чем исследуемый (рис. 8.2 б).

Объединение выборок с различными средними значениями может создавать иллюзию достаточно высокой корреляции (рис. 8.2 в).

y i y i y i

+ + . .

x i x i x i

Рис. 8.2. Возможные источники ошибок при интерпретации величины коэффициента корреляции (объяснения в тексте (пункты 3 – 5 примечания))

Потребности экономической и социальной практики требуют разработки методов количественного описания процессов, позволяющих точно регистрировать не только количественные, но и качественные факторы. При условии, что значения качественных признаков могут быть упорядочены, или проранжированы по степени убывания (возрастания) признака, возможно оценить тесноту связи между качественными признаками. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. И реальным содержанием измерений в ранговых шкалах является тот порядок, в котором выстраиваются объекты по степени выраженности измеряемого признака.

В практических целях использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.

В качестве примера можно рассмотреть наличие связи между обеспеченностью товарной продукцией ряда предприятий и накладными расходами по реализации. В ходе 10 наблюдений получена следующая таблица:

Упорядочим значения X по возрастанию, при этом каждому значению поставим в соответствие его порядковый номер (ранг):

Таким образом,

Построим следующую таблицу, куда записываются пары X и Y, полученные в результате наблюдения со своими рангами:

Обозначая разность рангов как, запишем формулу вычисления выборочного коэффициента корреляции Спирмена:

где n - число наблюдений, оно же число пар рангов.

Коэффициент Спирмена обладает следующими свойствами:

Если между качественными признаками X и Y имеется полная прямая зависимость в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена равен 1. Действительно, подставив в формулу, получим 1.

Если между качественными признаками X и Y имеется полная обратная зависимость в том смысле, что рангу соответствует ранг, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена равен -1.

Действительно, если

Подставив значение в формулу коэффициента корреляции Спирмена, получим -1.

Если между качественными признаками нет ни полной прямой, ни полной обратной связи, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена заключен между -1 и 1, причем чем ближе к 0 его значение, тем связь между признаками меньше.

По данным вышеприведенного примера найдем значение P, для этого достроим таблицу значениями и:

Выборочный коэффициент корреляции Кендалла. Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Пусть ранги объектов выборки объема n равны:

по признаку X:

по признаку Y: . Допустим, что правее имеется рангов, больших, правее имеется рангов, больших, правее имеется рангов, больших. Введем обозначение суммы рангов

Аналогично введем обозначение как сумму количества рангов, лежащих правее, но меньших.

Выборочный коэффициент корреляции Кендалла записывается формулой:

Где n - объем выборки.

Коэффициент Кендалла обладает теми же свойствами, что и коэффициент Спирмена:

Если между качественными признаками X и Y имеется полная прямая зависимость в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент корреляции Кендалла равен 1. Действительно, правее имеется n-1 рангов, больших, поэтому, таким же образом устанавливаем, что. Тогда. И коэффициент Кендалла равен: .

Если между качественными признаками X и Y имеется полная обратная зависимость в том смысле, что рангу соответствует ранг, то выборочный коэффициент корреляции Кендалла равен -1. Правее нет рангов, больших, поэтому. Аналогично. Подставляя значение R+=0 в формулу коэффициента Кендалла, получим -1.

При достаточно большом объме выборки и при значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к 1, имеет место приближенное равенство:

Коэффициент Кендалла дает более осторожную оценку корреляции, чем коэффициент Спирмена? (числовое значение? всегда меньше, чем). Хотя вычисление коэффициента? менее трудоемко, чем вычисление коэффициента, последний легче пересчитать, если к ряду добавляется новый член.

Важное достоинство коэффициента состоит в том, что с его помощью можно определить коэффициент частной ранговой корреляции, позволяющий оценить степень "чистой" взаимосвязи двух ранговых признаков, устранив влияние третьего:

Значимость коэффициентов ранговой корреляции. При определении силы ранговой корреляции на основе выборочных данных необходимо рассмотреть следующий вопрос: с какой степенью надежности можно полагаться на заключение о том, что в генеральной совокупности существует корреляция, если получен некоторый выборочный коэффициент ранговой корреляции. Другими словами, следует проверить значимость наблюдавшихся корреляций рангов исходя из гипотезы о статистической независимости двух рассматриваемых ранжировок.

При сравнительно большом объеме n выборки проверка значимости коэффициентов ранговой корреляции может осуществляться с помощью таблицы нормального распределения (табл. 1 приложения). Для проверки значимости коэффициента Спирмена? (при n>20) вычисляют значение

а для проверки значимости коэффициента Кендалла? (при n>10) вычисляют значение

где S=R+- R-, n - объем выборки.

Далее задаются уровнем значимости?, определяют по таблице критических точек распределения Стьюдента критическое значение tкр(?,k) и сравнивают с ним вычисленное значение или. Число степеней свободы принимается k = n-2. Если или > tкр, то значения или признаются значимыми.

Коэффициент корреляции Фехнера.

Наконец, следует упомянуть коэффициент Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации. Основой его вычисления является учет направления отклонений от средней арифметической варианты каждого вариационного ряда и определение согласованности знаков этих отклонений для двух рядов, связь между которыми измеряется.

Данный коэффициент определяется по формуле:

где na - количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средней арифметической; nb - соответственно количество несовпадений.

Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах -1,0<= Кф<= +1,0.

Прикладные аспекты ранговой корреляции. Как уже отмечалось, коэффициенты ранговой корреляции могут использоваться не только для качественного анализа взаимосвязи двух ранговых признаков, но и при определении силы связи между ранговым и количественным признаками. В этом случае значения количественного признака упорядочиваются и им приписываются соответствующие ранги.

Существует ряд ситуации, когда вычисление коэффициентов ранговой корреляции целесообразно и при определении силы связи двух количественных признаков. Так, при существенном отклонении распределения одного из них (или обоих) от нормального распределения определение уровня значимости выборочного коэффициента корреляции r становится некорректным, в то время как ранговые коэффициенты? и? не сопряжены с такими ограничениями при определении уровня значимости.

Другая ситуация такого рода возникает, когда связь двух количественных признаков имеет нелинейный (но монотонный) характер. Если количество объектов в выборке невелико или если для исследователя существенен знак связи, то использование корреляционного отношения? может оказаться здесь неадекватным. Вычисление же коэффициента ранговой корреляции позволяет обойти указанные трудности.

Практическая часть

Задача 1. Корреляционно-регрессионный анализ

Постановка и формализация задачи:

Дана эмпирическая выборка, составленная на основе ряда наблюдений за состоянием оборудования (на предмет отказа) и количеством изготовленных изделий. Выборка неявно характеризует взаимосвязь между объемом отказавшего оборудования и количеством изготовленных изделий. По смыслу выборки видно, что изготовленные изделия производятся на оставшемся в строю оборудовании так как чем больше % отказавшего оборудования, тем меньше изготовленных изделий. Требуется провести исследование выборки на корреляционно-регрессионную зависимость, то есть установить форму зависимости, оценить функцию регрессии (регрессионный анализ), а также выявить связь между случайными переменными и оценить ее тесноту (корреляционный анализ). Дополнительной задачей корреляционного анализа является оценка уравнения регрессии одной переменной по другой. Кроме того, необходимо спрогнозировать количество выпущенных изделий при 30%-ном отказе оборудования.

Формализуем приведенную выборку в таблице, обозначив данные «Отказ оборудования, %» как X, данные «Количество изделий» как Y:

Исходные данные. Таблица 1

По физическому смыслу задачи видно, что количество выпущенных изделий Y напрямую зависит от % отказа оборудования, то есть налицо зависимость Y от X. При проведении регрессионного анализа требуется найти математическую зависимость (регрессию), связывающую величины X и Y. При этом регрессионный анализ, в отличие от корреляционного, предполагает, что величина X выступает как независимая переменная, или фактор, величина Y - как зависимая от нее, или результативный признак. Таким образом, требуется произвести синтезирование адекватной экономико-математической модели, т.е. определить (найти, подобрать) функцию Y = f(X), характеризующую зависимость между величинами X и Y, используя которую можно будет спрогнозировать значение Y при X = 30. Решение данной задачи может быть выполнено с помощью корреляционно-регрессионного анализа.

Краткий обзор методов решения корреляционно-регрессионных задач и обоснование выбираемого метода решения.

Методы регрессионного анализа по числу факторов, влияющих на результативный признак, подразделяются на одно- и многофакторные. Однофакторные - число независимых факторов = 1, т.е. Y = F(X)

многофакторный - число факторов > 1, т.е.

По числу исследуемых зависимых переменных (результативных признаков) регрессионные задачи также можно разделить на задачи с одним и многими результативными признаками. В общем виде задача с многими результативными признаками может быть записана:

Метод корреляционно-регрессионного анализа заключается в нахождении параметров аппроксимирующей(приближающей) зависимости вида

Поскольку в приведенной задаче фигурирует только одна независимая переменная, т. е. исследуется зависимость только от одного фактора, влияющего на результат, следует применить исследование на однофакторную зависимость, или парную регрессию.

При наличии только одного фактора зависимость определяется в виде:

Форма записи конкретного уравнения регрессии зависит от выбора функции, отображающей статистическую связь между фактором и результативным признаком и включает следующие:

линейная регрессия, уравнение вида,

параболическая, уравнение вида

кубическая, уравнение вида

гиперболическая, уравнение вида

полулогарифмическая, уравнение вида

показательная, уравнение вида

степенная, уравнение вида.

Нахождение функции сводится к определению параметров регрессионного уравнения и оценке достоверности самого уравнения. Для определения параметров можно использовать как метод наименьших квадратов, так и метод наименьших модулей.

Первый из них заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений Yi от рассчитанных средних Yi, была минимальной.

Метод наименьших модулей заключается в минимизации суммы модулей разности эмпирических значений Yi и рассчитанных средних Yi.

Для решения задачи выберем метод наименьших квадратов, как наиболее простой и дающий хорошие по статистическим свойствам оценки.

Технология решения задачи регрессионного анализа с помощью метода наименьших квадратов.

Определить вид зависимости (линейная, квадратичная, кубическая и т.д.) между переменными можно с помощью оценки величины отклонения фактического значения y от расчетного:

где - эмпирические значения, - расчетные значения по аппроксимирующей функции. Оценивая значения Si для различных функций и выбирая наименьшее из них, подбираем аппроксимирующую функцию.

Вид той или иной функции определяется с помощью нахождения коэффициентов, которые находятся для каждой функции как решения определенной системы уравнений:

линейная регрессия, уравнение вида, система -

параболическая, уравнение вида, система -

кубическая, уравнение вида, система -

Решив систему, находим, с помощью которых приходим к конкретному выражению аналитической функции, имея которую, находим расчетные значения. Далее есть все данные для нахождения оценки величины отклонения S и анализа на минимум.

Для линейной зависимости оцениваем тесноту связи между фактором X и результативным признаком Y в виде коэффициента корреляции r:

Среднее значение показателя;

Среднее значение фактора;

y - экспериментальное значение показателя;

x - экспериментальное значение фактора;

Среднеквадратическое отклонение по х;

Среднеквадратическое отклонение по y.

Если коэффициент корреляции r = 0, то считают, что связь между признаками незначительна либо отсутствует, если r = 1, то между признаками существует весьма высокая функциональная связь.

Используя таблицу Чеддока, можно провести качественную оценку тесноты корреляционной связи между признаками:

Таблица Чеддока Таблица 2.

Для нелинейной зависимости определяется корреляционное отношение (0 1) и индекс корреляции R, которые вычисляются по следующим зависимостям.

где значение - значение показателя, вычисленное по регрессионной зависимости.

В качестве оценки точности вычислений используем величину средней относительной ошибки аппроксимации

При высокой точности лежит в пределах 0-12%.

Для оценки подбора функциональной зависимости используем коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации используется как «обобщенная» мера качества подбора функциональной модели, поскольку он выражает соотношение между факторной и общей дисперсией, точнее долю факторной дисперсии в общей.

Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия определяется по формуле:

где m - число параметров уравнения регрессии, n - число наблюдений. Величина сравнивается с критическим значением, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы и. Если, то величина индекса корреляции R признается существенной.

Для выбранной формы регрессии вычисляются коэффициенты уравнения регрессии. Результаты вычислений для удобства включаются в таблицу следующей структуры (в общем виде, количество колонок и их вид меняются в зависимости от вида регрессии):

Таблица 3

Решение задачи.

Провелись наблюдения за экономическим явлением - зависимостью выпуска изделий от процента отказа оборудования. Получена совокупность значений.

Выбранные значения описаны в таблице 1.

Строим график эмпирической зависимости по приведенной выборке (рис. 1)

По виду графика определяем, что аналитическую зависимость можно представить в виде линейной функции:

Рассчитаем парный коэффициент корреляции для оценки взаимосвязи между X и Y:

Построим вспомогательную таблицу:

Таблица 4

Решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов и:

из первого уравнения, подставляя значение

во второе уравнение, получим:

Находим

Получаем вид уравнения регрессии:

9. Для оценки тесноты найденной связи воспользуемся коэффициентом корреляции r:

По таблице Чеддока устанавливаем, что для r = 0.90 связь между X и Y весьма высокая, следовательно достоверность уравнения регрессии также высока. Для оценки точности вычислений используем величину средней относительной ошибки аппроксимации:

Считаем, что величина обеспечивает высокую степень достоверности уравнения регрессии.

Для линейной связи между X и Y индекс детерминации равен квадрату коэффициента корреляции r: . Следовательно, 81% общей вариации объясняется изменением факторного признака X.

Для оценки значимости индекса корреляции R, который в случае прямолинейной зависимости по абсолютной величине равен коэффициенту корреляции r, применяется F-критерий Фишера. Определяем фактическое значение по формуле:

где m - число параметров уравнения регрессии, n - число наблюдений. То есть n = 5, m = 2.

С учетом принятого уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы и получаем критическое табличное значение. Поскольку, величина индекса корреляции R признается существенной.

Вычислим прогнозное значение Y при X = 30:

Построим график найденной функции:

11. Определяем ошибку коэффициента корреляции по величине среднеквадратичного отклонения

а затем определяем значение нормированного отклонения

Из соотношения > 2 с вероятностью 95% можно говорить о значимости полученного коэффициента корреляции.

Задача 2. Линейная оптимизация

Вариант 1.

Планом развития региона предполагается ввести в действие 3 нефтяных месторождения с суммарным объемом добычи равным 9 млн.т. На первом месторождении объем добычи составляет не менее 1 млн.т, на втором - 3 млн. т, на третьем - 5 млн.т. Для достижения такой производительности необходимо пробурить не менее 125 скважин. Для реализации данного плана выделено 25 млн. руб. капитальных вложений (показатель К) и 80 км труб (показатель L).

Требуется определить оптимальное (максимальное) количество скважин для обеспечения плановой производительности каждого месторождения. Исходные данные по задаче приведены в таблице.

Исходные данные

Постановка задачи приведена выше.

Формализуем заданные в задаче условия и ограничения. Целью решения данной оптимизационной задачи является нахождение максимального значения добычи нефти при оптимальном количестве скважин по каждому месторождению с учетом существующих ограничений по задаче.

Целевая функция в соответствии с требованиями задачи примет вид:

где - количество скважин по каждому месторождению.

Существующие ограничения по задаче на:

длину прокладки труб:

число скважин на каждом месторождении:

стоимость строительства 1 скважины:

Задачи линейной оптимизации решаются, например, следующими методами:

Графически

Симплекс-методом

Использование графического способа удобно только при решении задач линейной оптимизации с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата. Рассмотрим общий метод решения задач линейной оптимизации называемый симплекс-методом.

Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. Рассматриваются итерационные процедуры такого рода, обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций.

Для решения оптимизационной задачи с помощью симплекс-метода необходимо чтобы число неизвестных Xi было больше числа уравнений, т.е. система уравнений

удовлетворяла отношению m

A=был равен m.

Обозначим столбца матрицы A как, а столбец свободных членов как

Базисным решением системы (1) называется набор из m неизвестных которые являются решением системы (1).

Кратко алгоритм симплекс-метода описывается следующим образом:

Исходное ограничение, записанное в виде неравенства типа <= (=>) , можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения (вычитая избыточную переменную из левой части) .

Например, в левую часть исходного ограничения

вводится остаточная переменная, в результате чего исходное неравенство обращается в равенство

Если исходное ограничение определяет расход труб, то переменную следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть данного ресурса.

Максимизация целевой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком. То есть в нашем случае

эквивалентна

Составляется симплекс-таблица для базисного решения следующего вида:

В данной таблице обозначают, что после решения задачи в этих клетках будет стоять базисное решение. - частные от деления столбца на один из столбцов; - дополнительные множители обнуления значений в клетках таблицы, относящихся к разрешающему столбцу. - min значение целевой функции -Z, - значения коэффициентов в целевой функции при неизвестных.

Среди значений находят любое положительное. Если такого нет, то задача считается решенной. Выбирают любой столбец таблицы, в котором есть, этот столбец называется «разрешающим» столбцом. Если среди элементов разрешающего столбца нет положительных чисел, то задача неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве ее решений. Если положительные числа в разрешающем столбце присутствуют, переходят к пункту 5.

Столбец заполняется дробями, в числителе которых - элементы столбца, а в знаменателе - соответствующие элементы разрешающего столбца. Из всех значений выбирается наименьшее. Строка, в которой получилось наименьшееназывается «разрешающей» строкой. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находят разрешающий элемент, который выделяют каким-либо образом, например, цветом.

На основе первой симплекс-таблицы составляется следующая, в которой:

Заменяется вектор-строка на вектор-столбец

разрешающая строка заменяется этой же строкой, поделенной на разрешающий элемент

каждая из остальных строк таблицы заменяется на сумму этой строки с разрешающей, умноженной на специально подобранный дополнительный множитель с целью получения 0 в клетке разрешающего столбца.

С новой таблицей обращаемся у пункту 4.

Решение задачи.

Исходя из постановки задачи имеем следующую систему неравенств:

и целевую функцию

Преобразуем систему неравенств в систему уравнений, введя дополнительные переменные:

Целевую функцию приведем к ей эквивалентной:

Построим исходную симплекс-таблицу:

Выберем разрешающий столбец. Рассчитаем столбец:

Заносим значения в таблицу. По наименьшему из них = 10 определяем разрешающую строку: . На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находим разрешающий элемент = 1. Заполняем часть таблицы дополнительными множителями, такими, что: помноженная на них разрешающая строка, добавленная к остальным строкам таблицы, образовывает 0-ли в элементах разрешающего столбца.

Составляем вторую симплекс-таблицу:

В ней разрешающим столбцом берем, вычисляем значения, заносим их в таблицу. По минимальному получаем разрешающую строку. Разрешающим элементом будет 1. Находим дополнительные множители, заполняем столбцы.

Составляем следующую симплекс-таблицу:

Аналогичным образом, находим разрешающий столбец, разрешающую строку и разрешающий элемент = 2. Строим следующую симплекс-таблицу:

Поскольку в строке -Z нет положительных значений, эта таблица является конечной. Первый столбец дает искомые значения неизвестных, т.е. оптимальное базисное решение:

При этом значение целевой функции -Z = -8000, что эквивалентно Zmax = 8000. Задача решена.

Задача 3. Кластерный анализ

Постановка задачи:

Провести разбиение объектов на основании данных, приведенных в таблице. Выбор метода решения провести самостоятельно, построить график зависимости данных.

Вариант 1.

Исходные данные

Обзор методов решения указанного типа задач. Обоснование метода решения.

Задачи кластерного анализа решаются с помощью следующих методов:

Объединение или метод древовидной кластеризации используется при формировании кластеров «несходства» или «расстояния между объектами». Эти расстояния могут определяться в одномерном или многомерном пространстве.

Двувходовое объединение используется (относительно редко) в обстоятельствах, когда данные интерпретируются не в терминах «объектов» и «свойств объектов», а в терминах наблюдений и переменных. Ожидается, что и наблюдения и переменные одновременно вносят вклад в обнаружение осмысленных кластеров.

Метод К-средних. Используется, когда уже имеется гипотеза относительно числа кластеров. Можно указать системе образовать ровно, например, три кластера так, чтобы они были настолько различны, насколько это возможно. В общем случае метод K-средних строит ровно K различных кластеров, расположенных на возможно больших расстояниях друг от друга.

Существуют следующие способы измерения расстояний:

Евклидово расстояние. Это наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:

Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным.

Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:

Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния. Степенное расстояние вычисляется по формуле:

где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p, равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.

Процент несогласия. Эта мера используется в тех случаях, когда данные являются категориальными. Это расстояние вычисляется по формуле:

Для решения поставленной задачи выберем метод объединения (древовидной кластеризации) как наиболее отвечающий условиям и постановке задачи (провести разбиение объектов). В свою очередь метод объединения может использовать несколько вариантов правил связи:

Одиночная связь (метод ближайшего соседа). В этом методе расстояние между двумя кластерами определяется расстоянием между двумя наиболее близкими объектами (ближайшими соседями) в различных кластерах. То есть любые два объекта в двух кластерах ближе друг к другу, чем соответствующее расстояние связи. Это правило должно, в известном смысле, нанизывать объекты вместе для формирования кластеров, и результирующие кластеры имеют тенденцию быть представленными длинными "цепочками".

Полная связь (метод наиболее удаленных соседей). В этом методе расстояния между кластерами определяются наибольшим расстоянием между любыми двумя объектами в различных кластерах (т.е. "наиболее удаленными соседями").

Существует также множество других методов объединения кластеров, подобных этим (например, невзвешенное попарное соединение, взвешенное попарное соединение и др.).

Технология метода решения. Расчет показателей.

На первом шаге, когда каждый объект представляет собой отдельный кластер, расстояния между этими объектами определяются выбранной мерой.

Так как в задаче не обуславливаются единицы измерения признаков, подразумевается, что они совпадают. Следовательно, нет необходимости в нормировании исходных данных, поэтому сразу переходим к расчету матрицы расстояний.

Решение задачи.

Построим по исходным данным график зависимости (рис 2)

В качестве расстояния между объектами примем обычное евклидовое расстояние. Тогда согласно формуле:

где l - признаки; k - количество признаков, расстояние между объектами 1 и 2 равно:

Продолжаем расчет остальных расстояний:

Из полученных значений построим таблицу:

Наименьшее расстояние. Значит, элементы 3,6 и 5 объединяем в один кластер. Получим следующую таблицу:

Наименьшее расстояние. В один кластер объединяются элементы 3,6,5 и 4. Получаем таблицу из двух кластеров:

Минимальное расстояние между элементами 3 и 6 равно. Значит, элементы 3 и 6 объединяются в один кластер. Расстояние между вновь образованным кластером и остальными элементами выбираем максимальным. Например, расстояние между кластером 1 и кластером 3,6 равно max(13.34166, 13.60147)= 13.34166. Составим следующую таблицу:

В ней минимальное расстояние - это расстояние между кластерами 1 и 2. Объединяя 1 и 2 в один кластер, получаем:

Таким образом, методом «дальнего соседа» получили два кластера: 1,2 и 3,4,5,6 , расстояние между которыми равно 13,60147.

Задача решена.

Приложения. Решение задач с использованием пакетов прикладных программ (MS Excel 7.0)

Задача корреляционно-регрессионного анализа.

Заносим исходные данные в таблицу (рис. 1)

Выбираем меню «Сервис / Анализ данных». В появившемся окне выбираем строку «Регрессия» (рис.2).

Зададим в следующем окне входные интервалы по X и по Y, уровень надежности оставим 95%, а выходные данные поместим на отдельный лист «Лист отчета» (рис. 3)

После проведения расчета получаем на листе «Лист отчета» итоговые данные регрессионного анализа:

Здесь же выводится точечный график аппроксимирующей функции, или «График подбора»:

Расчетные значения и отклонения выведены в таблице в колонках «Предсказанное Y» и «Остатки» соответственно.

На основе исходных данных и отклонений строится график остатков:

Оптимизационная задача

Вносим исходные данные следующим образом:

Искомые неизвестные X1, X2, X3 заносим в ячейки С9, D9, E9 соответственно.

Коэффициенты целевой функции при X1, X2, X3 вносим в С7, D7, E7 соответственно.

Целевую функцию заносим в ячейку B11как формулу: =C7*C9+D7*D9+E7*E9.

Существующие ограничения по задаче

На длину прокладки труб:

вносим в ячейки С5, D5, E5, F5, G5

Число скважин на каждом месторождении:

X3 Ј 100; вносим в ячейки С8, D8, E8.

Стоимость строительства 1 скважины:

вносим в ячейки С6, D6, E6, F6, G6.

Формулу расчета общей протяженности C5*C9+D5*D9+E5*E9 помещаем в ячейку В5, формулу расчета общей стоимости C6*C9+D6*D9+E6*E9 помещаем в ячейке B6.

Выбираем в меню «Сервис/ Поиск решения», вносим параметры для поиска решения в соответствии с заведенными исходными данными (рис. 4):

По кнопке «Параметры» задаем следующие параметры поиска решения (рис. 5):

После выполнения поиска решения получаем отчет по результатам:

Microsoft Excel 8.0e Отчет по результатам

Отчет создан: 11/17/2002 1:28:30 AM
Целевая ячейка (Максимум)
			Результат
	Общая добыча
Изменяемые ячейки
			Результат
	Количество скважин
	Количество скважин
	Количество скважин
Ограничения
		Значение
	Протяженность			Связанное
	Стоимость проекта			не связан.
	Количество скважин			не связан.
	Количество скважин			Связанное
	Количество скважин			Связанное

В первой таблице приводится исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой ячейки, в которую поместили целевую функцию решаемой задачи. Во второй таблице видим исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных, которые содержатся в изменяемых ячейках. Третья таблица отчета по результатам содержит информацию об ограничениях. В столбце «Значение» помещены оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных. Столбец «Формула» содержит ограничения на потребляемые ресурсы и оптимизируемые переменные, записанные в форме ссылок на ячейки, содержащие эти данные. Столбец «Состояние» определяет связанными или несвязанными являются те или другие ограничения. Здесь «связанные» - это ограничения, реализуемые в оптимальном решении в виде жестких равенств. Столбец «Разница» для ресурсных ограничений определяет остаток используемых ресурсов, т.е. разность между потребным количеством ресурсов и их наличием.

Аналогично, записав результат поиска решения в форме «Отчет по устойчивости», получим следующие таблицы:

Microsoft Excel 8.0e Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Решение задачи оптимизации.xls]Решение задачи по опт-ии добычи
Отчет создан: 11/17/2002 1:35:16 AM
Изменяемые ячейки
			Допустимое	Допустимое
		значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	Количество скважин
	Количество скважин
	Количество скважин
Ограничения
		Ограничение	Допустимое	Допустимое
		значение		Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	Протяженность
	Стоимость проекта

Отчет по устойчивости содержит информацию об изменяемых (оптимизируемых) переменных и ограничениях модели. Указанная информация связана с используемым при оптимизации линейных задач симплекс-методом, описанному выше в части решения задачи. Она позволяет оценить, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к возможным изменениям параметров модели.

Первая часть отчета содержит информацию об изменяемых ячейках, содержащих значения о количестве скважин на месторождениях. В столбце «Результирующее значение» указываются оптимальные значения оптимизируемых переменных. В столбце «Целевой коэффициент» помещаются исходные данные значения коэффициентов целевой функции. В следующих двух колонках иллюстрируется допустимое увеличение и уменьшение этих коэффициентов без изменения найденного оптимального решения.

Вторая часть отчета по устойчивости содержит информацию по ограничениям, накладываемым на оптимизируемые переменные. В первом столбце указываются данные о потребности в ресурсах для оптимального решения. Второй содержит значения теневых цен на используемые виды ресурсов. В последних двух колонках помещены данные о возможном увеличении или уменьшении объемов имеющихся ресурсов.

Задача кластеризации.

Пошаговый метод решения задачи приведен выше. Приведем здесь Excel-таблицы, иллюстрирующие ход решения задачи:

«метод ближайшего соседа»

Решение задачи кластерного анализа - "МЕТОД БЛИЖАЙШЕГО СОСЕДА"
Исходные данные



где х1 - объем выпускаемой продукции;
х2 - среднегодовая стоимость основных
Промышленно-производственных фондов

«метод дальнего соседа»

Решение задачи кластерного анализа - "МЕТОД ДАЛЬНЕГО СОСЕДА"
Исходные данные



где х1 - объем выпускаемой продукции;
х2 - среднегодовая стоимость основных
Промышленно-производственных фондов

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K ф ">Рассчитать свое значение

Расчет коэффициента Фехнера состоит из следующих этапов:

Определяют средние значения для каждого признака (X и Y).
Определяют знаки отклонения (-,+) от среднего значения каждого из признаков.
Если знаки совпадают, присваивают значение А, иначе В.
Считают количество А и В, вычисляя коэффициент Фехнера по формуле: K ф = (n a - n b)/(n a + n b) где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.

Графическое представление коэффициента Фехнера

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Проверит, различимы ли рассматриваемые растворы по значению водоотдачи.

где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.

Знаки отклонений от средней X	Знаки отклонений от средней Y	Совпадение (а) или несовпадение (b) знаков

Значение коэффициента свидетельствует о том, что можно предполагать наличие обратной связи.

Оценка Коэффициента корреляции знаков.

Доверительный интервал для коэффициента Фехнера:
r(-1.0;-0.4495)

Пример №3 .
Рассмотрим на примере расчет коэффициента корреляции знаков по данным, приведенным в таблице.